2025年教师资格考数学试题及答案

　　2025年教师资格考数学试题及答案

　　一、单项选择题

　　1. 若集合\(A = \{x | -2 < x < 1\}\)，\(B = \{x | 0 < x < 2\}\)，则集合\(A \cap B\)等于（ ）

　　A. \(\{x | -1 < x < 1\}\)

　　B. \(\{x | -2 < x < 1\}\)

　　C. \(\{x | -2 < x < 2\}\)

　　D. \(\{x | 0 < x < 1\}\)

　　答案：D

　　2. 函数\(y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（ ）

　　A. \(\frac{\pi}{2}\)

　　B. \(\pi\)

　　C. \(2\pi\)

　　D. \(4\pi\)

　　答案：B

　　3. 已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3 + a_7 = 10\)，则\(S_9\)的值是（ ）

　　A. 45

　　B. 50

　　C. 55

　　D. 60

　　答案：A

　　4. 直线\(3x + 4y - 12 = 0\)与圆\((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 9\)的位置关系是（ ）

　　A. 相离

　　B. 相切

　　C. 相交且过圆心

　　D. 相交但不过圆心

　　答案：D

　　5. 若\(\log_2 a < 0\)，\((\frac{1}{2})^b > 1\)，则（ ）

　　A. \(a > 1\)，\(b > 0\)

　　B. \(a > 1\)，\(b < 0\)

　　C. \(0 < a < 1\)，\(b > 0\)

　　D. \(0 < a < 1\)，\(b < 0\)

　　答案：C

　　6. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x, - 4)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（ ）

　　A. -8

　　B. -2

　　C. 2

　　D. 8

　　答案：B

　　7. 函数\(f(x)=x^3 - 3x + 1\)在闭区间\([-3,0]\)上的最大值、最小值分别是（ ）

　　A. 1， - 1

　　B. 1， - 17

　　C. 3， - 17

　　D. 9， - 19

　　答案：C

　　8. 从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人参加某项活动，则至少有\(1\)名女生的选法有（ ）

　　A. 10种

　　B. 30种

　　C. 56种

　　D. 46种

　　答案：D

　　9. 抛物线\(y^2 = 8x\)的焦点坐标是（ ）

　　A. \((2,0)\)

　　B. \(( - 2,0)\)

　　C. \((4,0)\)

　　D. \(( - 4,0)\)

　　答案：A

　　10. 若\(\cos\alpha = - \frac{4}{5}\)，\(\alpha\)是第三象限的角，则\(\frac{1 + \tan\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan\frac{\alpha}{2}}\)等于（ ）

　　A. \(-\frac{1}{2}\)

　　B. \(\frac{1}{2}\)

　　C. 2

　　D. -2

　　答案：A

　　二、多项选择题

　　1. 下列函数中，是偶函数且在\((0, +\infty)\)上单调递增的有（ ）

　　A. \(y = x^4\)

　　B. \(y = x^{\frac{1}{2}}\)

　　C. \(y = e^{|x|}\)

　　D. \(y = \log_2 |x|\)

　　答案：ACD

　　2. 已知空间向量\(\overrightarrow{a}=(1, - 1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(m,1, - 1)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则实数\(m\)的值可以为（ ）

　　A. -1

　　B. 0

　　C. 1

　　D. 2

　　答案：CD

　　3. 已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(a + b = 1\)，则下列结论正确的有（ ）

　　A. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)

　　B. \(a^2 + b^2\geqslant\frac{1}{2}\)

　　C. \(2^a + 2^b\geqslant2\sqrt{2}\)

　　D. \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)的最大值为\(2\)

　　答案：ABC

　　4. 下列命题中，正确的是（ ）

　　A. 若\(a > b\)，\(c > d\)，则\(ac > bd\)

　　B. 若\(ac > bc\)，则\(a > b\)

　　C. 若\(\frac{a}{c^2}<\frac{b}{c^2}\)，则\(a < b\)

　　D. 若\(a > b\)，\(c > d\)，则\(a - d > b - c\)

　　答案：CD

　　5. 设函数\(f(x)=\sin(2x + \varphi)(-\pi < \varphi < 0)\)，\(y = f(x)\)图象的一条对称轴是直线\(x=\frac{\pi}{8}\)，则下列说法正确的是（ ）

　　A. \(\varphi =-\frac{3\pi}{4}\)

　　B. \(y = f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

　　C. \(y = f(x)\)在区间\([\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]\)上单调递增

　　D. 直线\(x =-\frac{\pi}{8}\)是\(y = f(x)\)图象的一条对称轴

　　答案：ABC

　　6. 已知圆\(C_1:(x + 1)^2+(y - 1)^2 = 1\)，圆\(C_2\)与圆\(C_1\)关于直线\(x - y - 1 = 0\)对称，则（ ）

　　A. 圆心\(C_1\)到直线\(x - y - 1 = 0\)的距离为\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

　　B. 圆心\(C_1\)到直线\(x - y - 1 = 0\)的距离为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

　　C. 圆\(C_2\)的方程为\((x - 2)^2+(y + 2)^2 = 1\)

　　D. 圆\(C_2\)的方程为\((x + 2)^2+(y - 2)^2 = 1\)

　　答案：BC

　　7. 下列关于概率的说法，正确的有（ ）

　　A. 事件\(A\)的概率\(P(A)\)必有\(0 < P(A) < 1\)

　　B. 事件\(A\)的概率\(P(A)=0.999\)，则事件\(A\)是必然事件

　　C. 用某种药物对患有胃溃疡的\(500\)名病人进行治疗，结果有\(380\)人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显疗效的概率为\(0.76\)

　　D. 某奖券中奖率为\(50\%\)，则某人购买此奖券\(10\)张，一定有\(5\)张中奖

　　答案：C

　　8. 对于函数\(f(x)=\frac{\ln x}{x}\)，下列说法正确的是（ ）

　　A. \(f(x)\)在\(x = e\)处取得极大值\(\frac{1}{e}\)

　　B. \(f(x)\)有两个不同的零点

　　C. \(f(2)

　　D. 若\(f(x) 1\)

　　答案：ACD

　　9. 已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_3 = 6\)，\(a_3 = 0\)，则公差\(d\)等于（ ）

　　A. -1

　　B. -2

　　C. 1

　　D. 2

　　答案：B

　　10. 已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是\(\triangle ABC\)的三个内角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边，若\(a = 1\)，\(b = \sqrt{3}\)，\(A + C = 2B\)，则\(\sin C\)等于（ ）

　　A. \(\frac{1}{2}\)

　　B. 1

　　C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

　　D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

　　答案：B

　　三、判断题

　　1. 函数\(y = \frac{1}{x}\)在定义域上是减函数。（ ）

　　答案：错误

　　2. 若\(a\)，\(b\)是异面直线，\(b\)，\(c\)是异面直线，则\(a\)，\(c\)也是异面直线。（ ）

　　答案：错误

　　3. 若\(\log_a 2 < \log_b 2 < 0\)，则\(0 < a < b < 1\)。（ ）

　　答案：正确

　　4. 向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线。（ ）

　　答案：正确

　　5. 数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n + 1}=2a_n + 1\)，\(a_1 = 1\)，则\(a_6 = 63\)。（ ）

　　答案：正确

　　6. 函数\(y = \cos(2x - \frac{\pi}{3})\)的图象的一条对称轴方程是\(x=\frac{\pi}{6}\)。（ ）

　　答案：错误

　　7. 从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取\(3\)个数，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于\(200\)的概率为\(\frac{4}{5}\)。（ ）

　　答案：正确

　　8. 圆\(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0\)的圆心坐标为\((1,2)\)，半径为\(2\)。（ ）

　　答案：正确

　　9. 若\(a > b\)，则\(a^2 > b^2\)。（ ）

　　答案：错误

　　10. 已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x > 0\)时，\(f(x)=x^2 - 4x\)，则\(f(-1)=3\)。（ ）

　　答案：正确

　　四、简答题

　　1. 简述函数单调性的定义，并举例说明如何判断函数\(f(x)=x^2 - 2x\)在区间\((1, +\infty)\)上的单调性。

　　函数单调性定义：设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)、\(x_2\)，当\(x_1 < x_2\)时，都有\(f(x_1) < f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数；当\(x_1 < x_2\)时，都有\(f(x_1) > f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是减函数。

　　对于\(f(x)=x^2 - 2x\)，设\(1 < x_1 < x_2\)，\(f(x_2)-f(x_1)=x_2^2 - 2x_2-(x_1^2 - 2x_1)=(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)\)，因为\(x_2 - x_1 > 0\)，\(x_2 + x_1 - 2 > 0\)，所以\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即\(f(x)\)在\((1, +\infty)\)上是增函数。

　　2. 说明等差数列的通项公式和前\(n\)项和公式，并求等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 2\)，\(d = 3\)，\(n = 10\)时的\(a_{10}\)和\(S_{10}\)。

　　等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n - 1)d\)，前\(n\)项和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)。

　　已知\(a_1 = 2\)，\(d = 3\)，\(n = 10\)，则\(a_{10}=a_1+(10 - 1)d=2 + 9\times3 = 29\)，\(S_{10}=10\times2+\frac{10\times9}{2}\times3 = 20 + 135 = 155\)。

　　3. 什么是函数的极值？求函数\(f(x)=x^3 - 3x^2 + 1\)的极值。

　　函数的极值：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)及其附近有定义，如果对\(x_0\)附近的所有点，都有\(f(x)f(x_0)\)，则称\(f(x_0)\)是函数\(f(x)\)的一个极小值。

　　对\(f(x)=x^3 - 3x^2 + 1\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2 - 6x\)，令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x(x - 2)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 2\)。当\(x < 0\)时，\(f^\prime(x)>0\)；\(0 < x < 2\)时，\(f^\prime(x)<0\)；\(x > 2\)时，\(f^\prime(x)>0\)。所以\(x = 0\)时，\(f(x)\)有极大值\(f(0)=1\)；\(x = 2\)时，\(f(x)\)有极小值\(f(2)= - 3\)。

　　4. 解释概率的基本性质，并求在一次试验中，事件\(A\)发生的概率为\(0.3\)，事件\(B\)发生的概率为\(0.4\)，若\(A\)与\(B\)互斥，求\(A\)或\(B\)发生的概率。

　　概率的基本性质：①任何事件\(A\)的概率\(P(A)\in[0,1]\)；②必然事件的概率为\(1\)，不可能事件的概率为\(0\)；③若事件\(A\)与\(B\)互斥，则\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)；④若事件\(A\)与\(B\)