简要解读关于正弦定理的证明(小知识点)

　　关于正弦定理的证明，现在我们从两个方面进行解读。

　　一、利用直角三角形解读正弦定理的证明

　　我们知道在直角三角形ABC中，

　　∵a/c=sⅰnA，∴c=a/sinA

　　∵b/c=sⅰnB，∴c=b/sⅰnB

　　∵c/√(sin2A+sin2B)，∴c/sinC

　　(注意:sin2A+sin2B=1

　　即:sinC=1)

　　∴a/sinA=b/sinB=

　　c/sinC

　　(即:正弦定理)

　　二、利用斜三角形解读正弦定理的证明

　　在上面我们已经利用直角三角形解读了正弦定理的证明，实际也间接的告诉我们怎样用正弦定理解直角三角形。

　　现在我们利用斜三角形来解读正弦定理的证明，由于任意一个三角形都可以分解为两个直角三角形，所以我们可以把解斜三角形的问题就转化为解直角三角形的问题。

　　下面我们证明，在任意三角形ABC中

　　a/sinA=b/siB，其中a，b分别是

　　我们按着

　　(1)、当

　　形ABC化分为直角三角形ADC和直角三角形BDC。

　　则在直角三角ADC中

　　∵CD/b=sinA

　　∴CD=bsinA

　　在直角三角形BDC中

　　∵CD/a=sinB

　　∴CD=asⅰnB

　　∵CD=bsinA，CD=asinB

　　∴bsinA=asinB，

　　∴a/sinA=b/sinB

　　(2)、当

　　在直角三角形ADC中CD=dsinA

　　注意:在直角三角形ADC中

　　∵CD/a=sinB，∴CD=asinB

　　CD/b=sinA，∴CD=bsⅰnA

　　∴asinB=bsⅰnA

　　∴a/sinA=b/sinB

　　(3)当A为直角时，则三角形CAB中、b=asinB，

　　∴asinB=bsinA、

　　∴a/sinA=b/sinB

　　同理可证:

　　b/sinB=c/sⅰnC

　　把a/sinA=b/sⅰnB与

　　b/sinB=c/sinC这两个等式连结起来就得到:

　　a/sinA=b/sinB=

　　c/sinC

　　我们看到的这个连等的式子就是正弦定理。

　　实际上就是三角形各边和所对角的正弦值相等。它的每一个等式都表示三角形的两个角和它们对边之间的关系。在这四个元素中，知道其中三个元素就可以求出另一个元素，所以利用正弦定理可以解决两个问题。

　　1、已知三角形的两角和一边求其它的边和角。

　　2、已知三角形的两边和一角求其它的边和角。

　　关于正弦定理的证明，就简要的解读到这里。在解读过程中有些判断语言是我的观点，不一定正确。如果有与教材不相符的地方，则以现行教材为准。这个讲义稿仅供参考。有错误的地方，请审核老师和同学们批评指正。谢谢！