数海拾贝 - 2016年高考全国A卷理科数学压轴题详解

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　　第12题，选择压轴题：

　　已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为

　　A．

　　B．

　　C．

　　D．

　　正确答案是B．

　　分析与解由题意知解得（也可以由两式相减得到．）

　　又因为在单调，所以解得

　　当时，在不单调（因为）；

　　当时，在上单调，符合题意，所以的最大值为．

　　第16题，填空压轴题：

　　某高科技企业生产产品 和产品 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 需要甲材料 ，乙材料，用 个工时；生产一件产品 需要甲材料，乙材料，用个工时．生产一件产品 的利润为元，生产一件产品 的利润为元．该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品 、产品 的利润之和的最大值为_____元．

　　正确答案是．

　　分析与解设生产产品的件数分别为时，获得利润为元．则满足的约束条件为目标函数作出可行域如下图：

　　当时，有最大值．

　　第20题：

　　设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．

　　(1) 证明：为定值，并写出点的轨迹方程；

　　(2) 设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．

　　分析第(1)小题利用几何知识证明即可；第(2)小题是典型的面积问题，计算两个弦长和即可．

　　解(1) 将圆的方程化为标准方程

　　由于，于是．又，于是，因此，从而，这样就得到了为定值．根据椭圆的定义，点的轨迹方程为

　　(2) 设()，则在中应用余弦定理，有结合可解得

　　类似的，可得从而此时直线的方程为于是圆的弦长

　　于是可得四边形的面积于是四边形的面积的取值范围是．

　　第21题，解答压轴题：

　　已知函数有两个零点．

　　(1) 求的取值范围；

　　(2) 设是的两个零点，证明：．

　　分析第(1)小题是典型的零点个数问题，分离变量即可；第(2)小题是典型的偏移问题，对称化构造即可．

　　解(1)显然不是函数的零点．当时，方程等价于记右侧函数为，则的导函数因此函数在上单调递减，而在上单调递增．

　　由于函数在上的取值范围是，而在上的取值范围是，因此当时，函数有两个零点，所求取值范围是．

　　(2)根据第(1)小题的结果，不妨设，则只需证明．考虑到函数在上单调递增，于是只需要证明也即接下来证明：也即设，则其导函数当时，有于是在上，单调递增．而，于是在上，有，因此原命题得证．

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