确定起跑线的公式推荐文章1：期末考试将近，小学数学3~6年级期末复习知识点总结，请笑纳

　　一转眼2019年就离我们而去了，2020年的跨年你过的怎么样？心情此时是不是美美哒！新年伊始，在此辞旧迎新之际，奥数轻松学祝各位家长和小朋友们新年快乐！感谢你们2019年的不离不弃的陪伴！2020年，是新的一年，奥数轻松学将继续陪伴！让我们再续一段美丽的缘分吧！


　　咳咳！敲黑板！虽然春节的脚步越来越近，但是我们的期末考试也要来了，各位家长再准备过大年的同时也不要忽略了自己家萌娃的复习哟~


　　小学数学的知识虽然简单，但是复习起来真是让人头痛呢！但，世界如此美好，让你我在茫茫人海相遇，我怎能不理解你的痛呢？奥数轻松学特别为你整理了人教版3至6年级的数学上册的期末复习知识点的全部总结，各位家长加把劲，撸起袖子把最后的复习工作保质保量的做好，最后祝各位小朋友能拿到100分的成绩和家人们开开心过大年！


　　人教版小学三年级（上册）


　　1单元时、分、秒


　　1、钟面上有3根针，它们是(时针)、(分针)、(秒针)。


　　2、钟面上有(12)个数字，(12)个大格，(60)个小格。


　　3、时针走1大格是(1)小时，时针走1圈，分针要走(12)圈。分针走1大格是(5)分钟，走1小格是( 1)分钟。


　　4、时针走1大格，分针正好走(1)圈，分针走1圈是(60)分，也就是(1)小时。


　　5、分针走1小格，秒针正好走(1)圈，秒针走1圈是(60)秒，也就是(1)分钟。


　　6、钟面上时针和分针正好成直角的时间有：(3点整)、(9点整)。


　　7、1时=60分1分=60秒半时=30分60分=1时60秒=1分30分=半小时


　　9、简单经过时间计算：


　　(1)可以数钟面上经过的格计算


　　(2)用算式：经过的时间=结束的时间-开始的时间


　　2、4单元：万以内数的加法和减法


　　1、口算计算：一般先算整百加减整百数、整十加减整十数，一位数加减一位数，再把结果相加。(注意进位与退位)


　　2、估算：把加数看成接近它的整十、整百的数，再进行口算。


　　3、笔算加法：相同数位对齐，从个位加起，哪一位相加满十就要向前一位进1。


　　4、笔算减法：相同数位对齐，从个位减起，哪一位不够减，就要从前一位退1(退1当10)。


　　5、加法的验算：


　　(1) 用交换两个加数的位置相加


　　(2)用和减去一个加数等于另一个加数。


　　减法的验算：


　　(1)用差加减数等于被减数。


　　(2)用被减数减去差等于减数。


　　6、关系式：加数+ 加数=和


　　验算：


　　(1)交换加数位置和不变


　　(2)和-加数=加数；被减数-减数=差


　　验算：


　　(1)被减数-差=减数


　　(2)差+ 减数=被减数


　　7、解决问题：计算连加、连减、加减混合运算时(没有小括号)，要从左往左依次计算，有小括号的要先算括号里面的。


　　第3单元测量


　　1、在生活中，量比较短的物品，可以用(毫米、厘米、分米)作单位;量比较长的物体，常用(米)作单位;测量比较长的路程一般用(千米)作单位，千米也叫(公里)。


　　2、1厘米的长度里有(10)小格，每小格的长度(相等)，都是(1)毫米。


　　3、1枚1分的硬币、尺子、磁卡、小纽扣、钥匙的厚度大约是1毫米。


　　4、在计算长度时，只有相同的长度单位才能相加减。


　　5、长度单位的关系式有：


　　①进率是10：1米=10分米, 1分米=10厘米, 1厘米=10毫米, 10分米=1米, 10厘米=1分米, 10毫米=1厘米,


　　②进率是100：1米=100厘米, 1分米=100毫米, 100厘米=1米, 100毫米=1分米


　　③进率是1000：1千米=1000米, 1公里= =1000米, 1000米=1千米, 1000米= 1公里


　　6、当我们表示物体有多重时，通常要用到(质量单位)。在生活中，称量比较轻的物品的质量，可以用(克)做单位。称一般物品的质量，常用(千克)做单位。计量较重的或大宗物品的质量，通常用(吨)做单位。


　　7、1吨=1000千克1千克=1000克1000千克= 1吨1000克=1千克第


　　5单元倍的认识


　　1、求一个数是另一个数的几倍，用(除法计算)。


　　2、求一个数的几倍是多少，用(乘法计算)。


　　3、求几个相同加数的和，也是求这个数几倍是多少。(也可以用乘法计算)


　　4、注意事项：“倍”不能作单位名称。


　　第6单元多位数乘一位数


　　1、口算整十、整百数乘一位数，可能先用一位数去乘“0”前面的数算出积，再看因数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0.


　　2、估算：两、三位数乘一位数，可以把这个数看成接近它的整十、整百的数，再口算。


　　3、①0和任何数相乘都得0;②1和任何不是0的数相乘还得原来的数。


　　4、笔算乘法的方法：相同数位对齐，从个位乘起，用一位数分别去乘多位数的每一位，与哪一位相乘，积就写在那一位的下面。(哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。)


　　5、(关于“大约)应用题：


　　①，而问题中没有“大约”的，是求准确数。(用=)


　　②告诉的条件中没有“大约”，而问题中出现“大约”。是求近似数，用估算。(用≈)


　　③条件和问题中都有“大约”的，一定是求近似数，用估算。(用≈)


　　数学编码


　　1、了解邮政编码的结构和含义，了解本地方的邮政编码所代表的意思。


　　2、了解身份证编码的含意。


　　3、会根据所学的知识用数字编学籍号。


　　第7单元长方形和正方形


　　1、由4条直的边和4个角围成的封闭图形，叫做四边形。


　　2、四边形的特点：有四条直的边，有四个角。


　　3、长方形的特点：有两条长,两条宽;四个直角，对边相等。


　　4、正方形的特点：有4个直角，4条边都相等。(正方形是特殊的长方形)


　　5、长方形和正方形是特殊的(平行四边形。)


　　6、平行四边形的特点：


　　①对边相等、对角相等。


　　②平行四边形容易变形。(三角形不容易变形)


　　7、什么是周长：封闭图形一周的长度，就是它的周长。


　　8、公式：


　　长方形的周长=(长+宽)×2 ；正方形的周长=边长×4 ；长方形的长=周长÷2-宽


　　正方形的边长=周长÷4, 长方形的宽=周长÷2-长


　　第8单元分数的初步认识


　　1、把一个物体或一个图形平均分成几份，取其中的几份，就是这个物体或图形的几分之几。


　　2、把一个整体平均分得的份数越多，它的每一份所表示的数就越小。


　　3、分数大小的比较：


　　①分子相同，分母小的分数反而大，分母大的分数反而小。


　　②分母相同，分子大的分数就大，分子小的分数就小。


　　4、分数的加法和减法：


　　①分母相同的分数相加、减：分母不变，分子相加、减。


　　②1与分数相减：先看减数的分母是几，把1改成分子和分母相同的分数，然后再减去减数。


　　四年级数学上册重要知识点归纳


　　大数的认识


　　1.10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。相邻两个计数单位之间的进率是“十” ，这种计数方法叫做十进制计数法。


　　特别注意：计数单位与数位的区别。


　　2、多位数的读法：


　　①、从高位数读起，一级一级往下读。


　　②、万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加一个万字。


　　③、每级末尾不管有几个零都不读，其他数位有一个“零”或连续几个“零”，都只读一个“零”。


　　3、多位数的写法


　　①、从高级写起，一级一级往下写。 ②、当哪一位上一个计数单位也没有，就在哪一位上写0 。


　　特别注意：多位数的读写都先划上分级线。


　　4、多位数的大小比较：


　　①、位数多的时候，这个数就比较大。


　　②、当这两个数位数相同的时候，就从最高位开始比，哪个数位上的数大，这个数就大。


　　5、“万”“亿”作单位的数：


　　有时候，为了读写方便，我们把整万（亿）的数改写成有“万”（亿）做单位的数。方法概括：分级、去0，写万（写亿）


　　6、求近似数：


　　这种求近似数的方法叫“四舍五入法”，是“舍”还是“入”，要看省略的尾数部分的最高位是小于5 还是等于或大于5 。


　　方法概括：分级、去尾、四舍五入约


　　7、表示物体个数的数：0、1 、2 、3、 4 、5 、6 ……. 叫自然数一个物体也没有：用0来表示。 0也是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。


　　公顷、平方千米、角的度量


　　1、1公顷=10000平方米 1平方千米=100 0000平方米=100公顷


　　2、直线、射线、角


　　没有端点，可以向两端无限延伸，这种线叫直线。只有一个端点，向一端无限延伸，这种线叫射线。


　　直线、射线与线段有什么联系和区别？


　　①、直线和射线都可以无限延伸，因此无法量出长短。 ②、线段可以量出长度。


　　③、线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。


　　3、角的计量单位是“度”，用符号“ °”表示。把半圆平分成180 等份，每一份所对的、角的大小是l 度。记做1°


　　4、角的大小与角的两边的长短没关系。角的大小看两条边叉开的大小，叉开越大，角越大。


　　5、小于90°的角叫做锐角 直角＝90°， 大于90而小于180°的角叫做钝角


　　平角＝180°＝2个直角， 周角＝360°＝2个平角＝4个直角


　　特别注意：直线射线都无法度量，在判断题中，与直线射线比较长短的都是错误的。


　　平行四边形对角相等，邻角和等于180°，只需要量一个角的度数，就可以知道其他几个角的度数。


　　6、角的个数＝n×(n-1)÷2，n为边的条数。数线段的方法也如此。


　　7、用一副三角尺画出的角都是15°的倍数，你知道为什么吗？


　　三位数乘两位数（常用的数量关系）


　　速度×时间＝路程 路程÷时间＝速度 路程÷速度＝时间


　　 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价


　　工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作时间＝工作效率 工作总量÷工作效率＝工作时间


　　积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积也乘或除以几（零除外）一个因数乘几，另一个因数除以几，积不变（零除外）。


　　两位数乘三位数，积最多五位数，最少四位数。


　　平行四边形和梯形


　　1、直线外一点到直线所画的垂直线段最短；这点到这条直线的垂足之间的长度叫距离。


　　2、两条平行线之间的距离处处相等。


　　3、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；平行四边形有无数条高，平行四边形不是轴对称图形。


　　4、一个平行四边形在拉动过程中，面积变化，高变化，周长不变。平行四边形具有易变性。


　　5、只有一组对边平行的四边形叫梯形。当梯形的两条腰相等时，这两腰相等的梯形叫做等腰梯形。


　　等腰梯形是轴对称图形。四个角都是直角的四边形叫长方形。四个角都是直角，并且四条边都相等的四边形叫正方形。


　　6、画高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。垂足所在的边叫做平行四边形的底。当梯形的两条腰相等时，这两腰相等的梯形叫做等腰梯形。


　　特别注意：画高时，请注意三点：虚线、垂直标记、和名称


　　数学广角：


　　1、烙饼类问题策略： 饼个数×2÷同时可以烙的个数＝需要烙多少次 需要烙多少次×每一面的时间＝至少需要的时间


　　2、沏茶类问题策略：


　　首先要明确沏茶的大致顺序，也就是说哪些事情要先做，然后再考虑还有哪些事情可以同时做，能同时做的事尽量同时做，这样才能节省时间。


　　3、排队论问题策略：依次从等候时间较少的事情做起，就能使总的等候时间最少。


　　4、“田忌赛马”问题策略：田忌用下等马对齐王的上等马，用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马。三场两胜，田忌胜出。


　　五年级上册数学知识点


　　一、小数的乘法


　　（1）小数乘法计算法则：


　　①先按整数乘法算出积，再给积点上小数点。


　　②看因数中一共有几位小数，就从积的右边起（或个位）数出几位，点上小数点。


　　③当乘得的积的小数位数不够时，要在前面用0补足，再点小数点。


　　（2）一个数（0除外）乘大于1的数时，积比原来的数大。


　　一个数（0除外）乘小于1的数时，积比原来的数小。


　　一个因数扩大多少倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。


　　一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）多少倍，积也扩大（缩小）多少倍。


　　（3）四舍五入后的数字末尾的0不能去掉。


　　 小数4.7 “四舍五入”前的最大两位小数是4.74，最小是4.65


　　（4）简便运算：运算定律 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c


　　（5）小数的四则运算顺序跟整数是一样的。


　　先乘除，后加减，有括号，先算括号里面的；连乘，连加按从左到右的顺序计算。


　　二、小数的除法


　　（1）小数除以整数的计算方法：


　　①按整数除法的方法去除。


　　②商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果整数部分不够除，商0，点上小数点。


　　③如果有余数，要添0再除。


　　（2）一个数除以小数的算理


　　一看---看除数中一共有几位小数。二移---把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的位数不足时，用“0”补足。三算---按照除数是整数的小数除法的方法计算。，


　　（3）被除数和除数同时扩大（缩小）相同的倍数，商不变。


　　被除数扩大（缩小）多少倍，除数不变，商扩大（缩小）多少倍。


　　被除数不变，除数扩大（缩小）多少倍，商缩小（扩大）多少倍。


　　（4）商的近似数


　　 小数除法所得的商可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求商的近似数。


　　计算钱数，保留两位小数，表示计算到分；保留一位小数，表示计算到角。


　　（5）循环小数


　　一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。像5.3333…和7.14545…都是循环小数。


　　一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如：5.3333…的循环节是3。


　　简便记法5.3333…可以记做--- 7.14545…可以记做---


　　小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如：0.9375是一个有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。例如，0.2142854142857…就是一个无限小数.


　　循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数。


　　（6）解决问题


　　在解决实际问题中，根据实际需要取商的近似数，用（去尾法，进一法）


　　例如：装水或装油等用进一法，做衣服，包装礼盒用去尾法。


　　7、求近似数的方法一般有三种：


　　⑴四舍五入法：求一个数的近似数，主要是看它省略的最高位上的数，是小于5，大于5还是等于5。如果省略的尾数最高位上的数是4或比4小，把尾数都舍去。如果省略的尾数最高位上的数是5或比5大，把尾数省略后向前一位进一。


　　⑵进一法：在实际问题中，有时把一个数的尾数省略后，不管位数最高位商的数是几，都要向它的前一位进1。如：把400千克粮食装进麻袋，如果每条麻袋只能装75千克，至少需要几条麻袋？因为400÷75=5.33……就是说，400千克粮食装5条麻袋还余25千克，这25千克还需要用一条麻袋来装，所以一共需要6条麻袋。即：400÷75=5.33……≈6（条）这种求近似数的方法，叫做进一法。


　　⑶去尾法：在实际问题中，有时把一个数的尾数省略后，不管位数最高位商的数是几，都不需要向它的前一位进1。如：把200张纸订成每本12张的本子，可以订成多少本？因为200÷16=16.66……，就是说，22张纸订成16本还余8章，根据题里的要求，12张纸才能订成一本，余下的8张纸不能订成有12张纸有本子，所以一共只能订成16本。即：200÷16=16.66……≈16（本）这种求近似数的方法，叫做去尾法。


　　三、简易方程


　　（1）用字母表示数，用字母表示运算定律，用字母表示公式


　　用字母表示运算定律,简明易记，便于应用。


　　在含有字母的是式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。省略乘号时一般把数字写在前面例如：4×a=4a


　　公式: 长方形的面积s=ab 长方形的周长c=2(a+b)


　　正方形的面积s=a2(读作a的平方，a2=a×a) 正方形的周长c=4a


　　 (2)用字母表示单位


　　长度单位 千米km 米m 分米dm 厘米cm 毫米mm


　　面积单位 平方千米km2 平方米m2 平方分米dm2 平方厘米 cm2 平方毫米mm2


　　质量单位 吨t 千克kg 克g


　　（3）解简易方程


　　含有未知数的等式叫做方程。 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。 例：x=6是方程4+x=10的解。


　　方程的基本性质：①方程两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。


　　②方程两边同时乘或除以同一个数（0除外），方程左右两边仍然相等。


　　等式的性质：加数+加数=和；加数=和-另一个加数；


　　 被减数-减数=差；被减数=差+减数；减数=被减数差；


　　 因数×因数=积；一个因数=积÷另一个因数；


　　被除数÷除数=商；被除数=除数×商；除数=被除数÷商；


　　解方程 4x=3×9 3x-6=18 2(2.8+x)=10.4 19x-3x=32.16


　　解决问题：步骤：①分析，列数量关系；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答。


　　常用数量关系：华氏温度=摄氏温度×1.8+32 成年男子的标准体重=身高－105


　　路程=时间×速度 总价=单价×数量 工作总量=工作时间×工作效率


　　四、多边形的面积


　　①平行四边形的面积=底×高 字母公式： S=ah a=S÷h h=S÷a


　　②三角形的面积=底×高÷2 字母公式： S=ah÷2 a=2S÷h h=2S÷a


　　③梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 字母公式： S=（a+b）h÷2


　　h=2S÷(a+b) a=2S÷h-b b=2S÷h-a


　　④组合图形的面积


　　同底同高的三角形面积相等，但周长和形状不一定相同。


　　直角三角形的面积等于两条直角边长度乘积的一半. 同底同高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 两条平行线间距离相等。 在两条平行线间可以画出无数个面积相等的三角形。


　　面积单位换算 1m2=100dm2=10000cm2 1公顷=10000m2


　　1km2=100公顷=1000000m2 1dm2=100cm2=10000mm2 1cm2=100mm2


　　把一个长方形框拉成平行四边形，周长不变，高变短了，面积变小了。


　　五、统计与可能性


　　中位数的求法：把一组数据按大小顺序（从大到小或者从小到大）排列，当数据个数是单数是最中间的数就是中位数；当数据个数是双数时最中间两个数的平均数（两数相加÷2）就是中位数；


　　中位数的优点是不受偏大或偏小数据的影响,有时（当一组数据中有偏大或者偏小的数时）用它代表全体数据的一般水平更合适。


　　密铺：圆形，正五边形不可以密铺；长方形，正方形，三角形，平行四边形，等腰梯形，正六边形可以密铺。 拼接点处各角度数和为360°


　　六、数学广角


　　1.数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。


　　用数字编码有着重大的意义：有序、好统计、不重复


　　2.拨打长途电话都要先拨区号：北京市010 天津市020 甘肃省 兰州市0931


　　3.车牌号码：甘A 53439 是甘肃省兰州市的车 （甘 表示车辆所在的省，自治区，直辖市 字母A表示车辆所在的城市）


　　4.邮政编码的含义：


　　前两位代表省（自治区、直辖市）


　　第三位代表邮区，


　　第四位代表所在邮区的县（市）


　　最后两位数代表投递区。如：73 0 2 07


　　

　　六年级数学上册知识梳理


　　第一单元 分数乘法


　　一、分数乘法意义和计算


　　（一）分数乘法的意义：


　　1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。


　　都是求几个相同加数的和的简便运算。


　　2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。


　　（二）、分数乘法的计算法则：


　　1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。


　　2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。


　　注意


　　（1）分数的化简：分子、分母同时除以它们的最大公因数。


　　（2）关于分数乘法的计算：可在乘的过程中约分，也可将积的分子分母约分，提倡在计算过程中约分，这样简便。


　　（3）当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。


　　（三）、规律：（乘法中比较大小时）


　　一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。


　　一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。


　　一个数（0除外）乘1，积等于这个数。


　　（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。


　　（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。


　　乘法交换律: a×b=b×d


　　乘法结合律: a×b×c=a×(b×c)


　　乘法分配律:a×(b+c)=ab+ac 或a×(b-c)=ab-ac


　　二、分数乘法的解决问题


　　（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）


　　1、找单位“1”： “占”、“是”、“比”的后面，“的”前面


　　2、求一个数的几倍是多少； 求一个数的几分之几是多少。用乘法


　　对应量=单位“1”的量×对应分率


　　

　　第二单元 位置与方向


　　要比较准确的确定一个物体的位置，方向和距离这两个条件缺一不可，一般通过定方向、测角度、量距离、定位置这几个基本步骤完成。


　　

　　第三单元 分数除法


　　一、倒数


　　1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。


　　(互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。)


　　2、求倒数的方法：


　　（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。


　　（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。


　　（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。


　　（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。


　　3、1的倒数是1； 0没有倒数。


　　4、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。


　　二、分数除法


　　1、分数除法的意义：


　　分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。


　　2、分数除法的计算法则：　除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。


　　3、规律（分数除法比较大小时）：


　　（1）当除数大于1，商小于被除数；


　　（2）当除数小于1（不等于0），商大于被除数；


　　（3）当除数等于1，商等于被除数。


　　4、分数混合运算顺序：


　　 （1）同级运算要按从左往右顺序计算。


　　 （2）先算乘、除后算加、减，有括号的，要先算括号里面的


　　（3）一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。


　　（4）能用运算律的要用运算律。


　　三、分数除法解决问题


　　1、已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。


　　①用方程解应用题步骤：


　　解。（写“解”字，打冒号。）找。（找等量关系) 设。（设未知数，根据题目设未知数，问什么设什么。）


　　列。（根据等量关系列方程）解。（解方程）答。（写答数）


　　②用算术方法解答：已乘未除，多加少减。


　　单位“1”的量=对应量÷对应分率


　　2、求一个数是另一个数的几分之几： 一个数÷另一个数


　　3、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 两个数的相差量÷单位“1”的量


　　第四单元 比


　　（一）、比的意义


　　1、比的意义：两个数的比表示两个数相除。


　　2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。


　　3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。


　　4、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。


　　体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。


　　5、比和除法、分数的联系：


　　比


　　前 项


　　比号“：”


　　后 项


　　比值


　　除 法


　　被除数


　　除号“÷”


　　除 数


　　商


　　分 数


　　分 子


　　分数线“—”


　　分 母


　　分数值


　　（二）、比的基本性质


　　1、（1）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。


　　（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。


　　（3）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。


　　2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。


　　3、化简比的类型：


　　（三）、按比分配


　　把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比分配。


　　按比分配问题的解题方法(已知总数和比)


　　方法一：①先求出总份数；②求出一份是多少；③分别求出几份是多少。


　　方法二：①先求出总份数；②求出各部分占总份数的几分之几；③最后按照“求一个数的几分之几是多 少”的方法，求出各部分的量。


　　

　　第五单元 圆


　　一、认识圆形


　　1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。


　　2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．


　　3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。


　　把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。


　　4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。


　　直径是一个圆内最长的线段。


　　5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。


　　6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有直径都相等。


　　7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。


　　用字母表示为：d＝2r或r＝d/2


　　8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。


　　二、圆的周长


　　1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。


　　2、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把 它 叫做圆周率。用字母π（pai） 表示。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。


　　3、圆的周长公式：C= πd → d = C ÷π或C=2π r → r = C ÷ 2π


　　已知直径求周长：C=πd 已知半径求周长：C=2πr


　　已知周长求直径：d=C÷π 已知周长求半径：r=C÷π÷2


　　三、圆的面积


　　1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。


　　2、圆面积公式的推导：


　　用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；


　　已知半径求面积：S=πr2 已知直径求面积：S= π(d÷2) 2


　　3、环形的面积：一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。


　　（R＝r＋环的宽度．）


　　S环 = πR2－πｒ2　 或 S环 = π（R2－ｒ2）。


　　4、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。


　　5、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这半径的平方比。


　　6、确定起跑线：


　　每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度


　　7、常用各π值结果：


　　2π = 6.28 3π = 9.42 4π = 12.56 5π = 15.7 6π = 18.84 7π = 21.98


　　8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4 16π = 50.24 25π = 78.5 36π = 113.04


　　常用平方数结果：


　　=121 =144 =169 =196 =225 =256 =289 =324 =361


　　

　　第六单元：百分数


　　一、概念：如18%、50%、64.2%-----这样的数，叫做百分数。百分数表示一个数是另一个数的百分之几。百分数也叫做百分率或百分比。


　　 1、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。


　　2、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。


　　3、百分数和分数的区别：百分数只能表示两个数的比的关系，而分数不仅可以表示数的关系，还可以表示成一个具体的量，可以带上单位名称。


　　4、百分数和小数及分数的互化


　　（1）小数化成百分数：把小数点向右移动两位再在数的后面加上百分号。


　　（2）百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。


　　（3）百分数化成分数：化成分母是100的分数，能约分的要约分。如果百分数分子是小数，要先根据分数的基本性质，把百分数改写成分数是整数的分数，再约分。


　　（4）分数化成百分数有两种方法：一种是根据分数的基本性质，把分数的分母化成为100的分数，然后改写成百分数。另一种是先把分数化成小数，在利用小数化百分数的方法。（利用第二种时，除不尽，通常保留三位小数，即百分号前保留一位小数）


　　二：用百分数解决问题：


　　1、在生产工作中常用的百分率有：


　　及格率=100% 增产率=100%


　　合格率=100% 出勤率=100%


　　一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。


　　2、解答百分数应用题时，要注意弄清楚谁和谁比，比的标准不同，单位“1”也不同，解题时要注意找准把谁看单位“1”。


　　3、在实际生活中，人们常用“增加百分之几”、“减少百分之几”、“节约百分之几”----来表示增加、减少的幅度。（占谁的把谁看成单位“1”）


　　

　　第七单元：统计


　　1、常用统计图：条形统计图、折线统计图、扇形统计图。


　　2、用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数，这样的统计图我们称为扇形统计图。


　　特点：通过扇形统计图我们可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。


　　3、条形统计图的的特点：条形统计图可以清楚地看出每个数量的多少。 折线统计图的特点：折线统计图不仅可以看出数量的多少而且可以看出数量的增减变化情况。


　　

　　第八单元：数学广角—数与形


　　 数与形，重在观察，先找出图形与数（或算式）之间的关系，然后找出数与形的潜在规律，利用规律解决问题。


　　

　　确定起跑线的公式推荐文章2：

　　确定起跑线的公式推荐文章3：揭秘养老金计算公式：你的退休金由这4部分决定

　　#50岁退休每月能领到多少退休金?#


　　本文会以上海作为举例，根据上海市人社局政策，企业职工养老金由四部分构成：基础养老金+个人账户养老金+过渡性养老金+补充养老金。


　　1. 基础养老金：社平工资决定你的“起跑线”公式：（上海市上年度社平工资 + 本人指数化月均缴费工资）÷2 × 缴费年限 ×1%


关键变量：社平工资：2023年为12183元，直接影响计算结果。缴费指数：个人工资与社平工资的比值（0.6-3）。若按最低基数7310元缴费，指数仅0.6；若按上限36549元缴费，指数高达3。缴费年限：每多缴1年，基础养老金多增1%。

　　案例对比：


王阿姨（50岁退休，缴费15年，指数0.6）：（12183 + 12183×0.6）÷2 ×15×1% = 1462元李女士（50岁退休，缴费28.5年，指数1.5964）：（12183 + 12183×1.5964）÷2 ×28.5×1% = 4216元

　　结论：缴费年限和工资水平，直接拉开3倍差距！


　　2. 个人账户养老金：你的“储蓄罐”有多大？公式： 个人账户储存额 ÷ 计发月数（50岁为195个月）


储存额：每月缴费基数×8%（企业职工）或20%（灵活就业），按最低基数7310元缴满15年，储存额约10.5万元；按社平工资12183元缴28年，可达28.4万元。计发差异：最低档：105000 ÷195 = 538元中高收入档：284000 ÷195 = 1456元

　　残酷现实：灵活就业者全额自缴20%，压力更大，回本周期更长！


　　3. 过渡性养老金：70后的“特殊补偿”针对1992年前工龄的“视同缴费”群体，计算公式：本人指数化月均工资 × 视同缴费年限 ×1.2%。


李女士案例：1993年前工龄折算后，额外获得553元。

　　警示：80后、90后无此待遇，完全依赖实际缴费！


　　4. 政策红利：上海独有的“补充养老金”2023年，上海对企业退休人员额外发放280元/月补贴。加上高龄倾斜（70岁以上+25元），部分人群可多领305元。


二、真实案例解剖：28年工龄如何换来6590元高额养老金？

　　以李女士为例：


缴费28.5年，平均指数1.5964（工资达社平1.6倍）个人账户储存28.4万元过渡性养老金553元 + 补充养老金365元总计：4216（基础）+1456（个人）+553（过渡）+365（补充）= 6590元/月

　　成功密码：


长期缴费：28年远超15年底线高基数缴费：工资达社平1.6倍政策红利：上海独有的补充补贴三、扎心对比：养老金VS上海生活成本

　　1. 基本生存线：


伙食费1500元 + 水电物业500元 + 医疗500元 = 2500元/月2. 体面生活线：社交娱乐500元 + 旅游储备800元 + 服装500元 = 4300元/月3. 突发风险：一次住院自费部分可达1-5万元，耗尽半年养老金

　　现实困境：


按最低档缴费（约2000元/月），仅够维持温饱若想抵御通胀、医疗风险，养老金需达5000元以上四、深度共鸣：上海退休人的三大焦虑与破解之道

　　焦虑1： “我缴满15年就停，真的划算吗？”


真相：缴15年领2000元，仅覆盖生存成本；缴25年以上，才有余力应对通胀。破解：灵活就业者可选择“阶段性高缴费”，临近退休前5年提高基数，大幅提升指数。

　　焦虑2： “企业按最低基数缴，我的退休金被谁偷走了？”


数据：企业按7310元基数缴费，个人账户月存仅584元，退休金缩水40%。破解：保留工资条、劳动合同，退休前2年举企业低缴，可追补差额。

　　焦虑3： “50岁退休太早，我能熬到领完个人账户吗？”


测算：50岁退休计发195个月（16.25年），若活到75岁，账户余额领完后由社保基金托底。建议：健康管理延长寿命，高龄补贴（70岁+25元）可逐年增加收入。五、终极规划：三招让你的养老金“逆天改命”

　　1. 时间杠杆：


25岁起每月多存500元，按5%收益复利，50岁可达48万元，月领2461元。2. 政策杠杆：申请“就业困难人员”社保补贴，灵活就业者缴费负担减轻50%。3. 商业保险：配置“终身年金险”，60岁后每月固定领3000元，弥补社保缺口。

　　结语：退休金不是终点，而是人生下半场的起点在上海，50岁退休领6000元绝非偶然，而是20年持续规划的必然。当别人在抱怨“养老金不够”时，聪明人早已在缴费基数、年限、补贴政策中找到了破局之道。你的每一个缴费选择，都在为未来的自己投票。


　　互动话题：“你算过自己的养老金吗？如果不足5000元，你打算如何补救？”


　　确定起跑线的公式推荐文章4：小学六年级数学必考大纲，数学老师教学参考资料

　　以下是基于人民教育出版社六年级数学教材目录及全网资料整理的六年级数学大纲，涵盖上下册核心内容及知识框架：


一、数与代数·1. 分数与运算分数乘法意义与计算（整数×分数、分数×分数），混合运算及简便算法解决实际问题（如求一个数的几分之几、连续求分率的应用题）分数除法倒数的概念，分数除法法则（转化为乘法），含未知数的方程实际问题（如工程问题、单位“1”的确定）比和比例比的意义与基本性质，化简比与求比值比例的意义、基本性质及解比例，正比例与反比例关系2. 百分数百分数（一）百分数与分数、小数的互化，折扣、成数、税率计算百分数（二）利率、利润、增长率等复杂应用，结合生活场景（如存款、促销）3. 负数与方程负数认识负数及其在数轴上的表示，比较大小，解决温差等问题方程与比例应用一元一次方程解法，比例分配问题（如按比例调配溶液）二、图形与几何1. 平面图形圆圆的性质（圆心、半径、直径），周长与面积公式推导（π的应用）实际应用：环形面积、车轮滚动问题位置与方向用数对确定位置，方向与距离描述物体位置（如地图坐标）2. 立体图形圆柱与圆锥特征（底面、侧面、高），表面积与体积计算（公式推导）实际问题（如粮囤容积、容器容量）3. 实践探究确定起跑线结合圆周长差异设计运动场跑道起跑线三、统计与概率1. 数据统计扇形统计图绘制与分析，对比条形图、折线图的特点概率与可能性简单概率描述（如摸球、转盘），鸽巢原理（抽屉原理）应用2. 综合实践节约用水数据收集与分析，设计节水方案（统计与数学建模结合）四、综合与实践1. 数学广角数与形数形结合思想（如数列与图形规律、勾股定理初步）鸽巢问题最不利原则，解决“至少存在”类问题（如颜色球抽取）2. 生活应用生活与百分数调查分析家庭收支、投资理财中的百分数应用自行车里的数学齿轮比与速度关系的探究（比例与运动学结合）五、总复习与整理知识体系整合系统梳理数与代数、几何、统计核心知识点综合能力提升跨模块应用题训练（如工程问题结合比例、统计结合百分数）核心教学目标能力培养分数运算能力、空间想象（圆与圆柱）、数据分析（统计图）逻辑推理（数学广角）、实际问题建模（如利率计算）素养渗透数学思想（数形结合、类比推理）、跨学科应用（科学、经济）参考资料教材编排特点：注重结构化设计（如分数乘除由简到繁）、生活化实践（如节水项目）教学建议：通过动态几何软件演示圆面积推导，利用真实数据分析百分数应用

　　确定起跑线的公式推荐文章5：“确定起跑线”的教学重建

　　最近，“全景式数学教育”对“综合与实践”这个领域的难点课题“确定起跑线”进行了专项研究，我与4名教师进行了同课异构。


　　活动目标：让学生学会用数学的眼光观察跑道中的起跑线位置，发现并提出相应的数学问题，然后用数学的语言，简约、精确地描述、刻画和表达起跑线问题。


　　能够从数量关系和形式关系的角度尝试分析起跑线问题，探究其背后的数学规律，并通过逻辑推理与数学运算等多角度分析，找到多路径的解决方案，形成相应结论，建立解决此类问题的模型结构，能够灵活、创新性地解决生活中的相关问题。


　　课堂上我设计了这样的活动：


　　活动一：四驱车比赛中的数学问题


　　一、课前自探——致同学们的一封信


　　还未曾谋面的同学，你好！


　　我是张宏伟老师。相信经过小学系统的6年学习，你一定有了这样的深刻体验：为了更准确、简捷、优美地表达现实世界，数学常用点、线、面、体等图形或符号来表示自然和生活中的一些现象，如图1。


　　用点A表示张老师的四驱车，用点B表示你们班宋叶青老师的四驱车。


　　用内、外两条圆周曲线来分别表示张宏伟和宋叶青老师的四驱车行驶轨道。


　　比赛规定：两辆车同时从冲刺线启动出发，谁先到达冲刺线谁就获胜。


　　1. 你觉得这样的比赛规定有问题吗？如果有，怎么解决？


　　【以上是“课前自探”的正面一页，下面留有空白，以便让学生书写自己的思考和算法。下面的第2、第3题则打印在反面，以期让学生在充分独立思考和演算的基础上再推演第3跑道，猜想规律】


　　2. 如果你们学校的伍校长也来参加四驱车比赛，在第3个轨道上，伍校长发车点应该在哪里？（第2和第3轨道之间的道宽也是1米）


　　3. 猜想第4、第5、第6……跑道的发车点和其中的规律。


　　二、课中研究


　　（一）小组交流课前自探的研究情况。


　　（二）问题1反馈：


　　1.全班学生一致认为：这个比赛规定有问题——不公平！因为宋老师跑道半径大，跑道比张老师的跑道长6.28米。全班都只提出了一种解决方案：宋老师的发车点比张老师向前提6.28米。


　　2.我表示质疑：难道只有把宋老师向前提6.28米这一种解决办法吗？


　　学生又陆续想出以下几种方案：


　　（1） 张老师后退6.28米出发。


　　（2） 张老师后退3.14米，宋老师往前3.14米。


　　（3）换成两个直道比。


　　（4）都在同一个跑道比，张老师先跑，然后宋老师再跑，计时，然后再比。（这个方法，获得了学生的一致认可）


　　师：是啊，其实一个跑道挨个计时就行了，怎么许多比赛还要做那么多跑道非要一块比呢？


　　学生立刻明白了什么——


　　生1：这样人多了，很浪费时间！


　　生2：一块比着跑，能刺激人跑出更好的成绩。


　　生3：观众看着来劲。


　　师：真棒！就是更具观赏性！其实许多事情都像比赛这样，还要考虑数学之外的其他因素。在实际比赛中，通常会选择同学们一致认同的第一方案，把外道的出发点往前提，这说明大家对数学的感觉还不错。


　　（三）宋老师向前6.28米处出发，是怎么计算出来的？


　　一名学生说着，教师板书如下：


　　两圆周长差：外圆周长-内圆周长


　　4×2×3.14-3×2×3.14


　　=25.15-18.84


　　=6.28（米）


　　师：还有不同的方法吗？（全班学生都没有）


　　（四）引导学生探究两圆周长差的方法。


　　师：有一种算法叫不算而算。看，求大圆周长和小圆周长的式子里都有什么？（生：3.14）


　　有学生急切接道：把3.14提出来！


　　教师启迪没有想到的学生：你明白他的意思吗？他是联想到了哪个运算定律来解决这个问题的？


　　等待全体学生都举手后，教师让一个学生说，并板书如下：


　　4×2×3.14-3×2×3.14→


　　（4×2-3×2）×3.14


　　引导学生解析算式各部分名称，得到求两圆周长之差的第二种方法：


　　直径差×π。


　　师：你能再进一步推想下去吗？


　　学生很快想到“2”也可以提出来，又推出求两圆周长之差的第三种方法：


　　道宽×2×π。


　　最后形成的板书如图2。


　　活动二：奥运会跑道数学问题（课中）


　　（一）出示奥运会400米标准跑道俯瞰图及其简介1：国际400米标准跑道，是指最内侧的跑道（即第1道）的全场是400米，从内到外一共8条道。


　　（二）观看奥运会400米比赛视频。


　　（三）定格视频中起跑点一帧画面，让学生观察8位比赛选手的起跑位置。


　　（四）提出问题：如果要确定2-8道选手的起跑线位置，你认为必须测量出哪些数据？


　　学生的反馈依次为：直道的长度、弯道的直径或半径、道宽。


　　我停顿、微笑看着学生，等待着……


　　不一会儿一个学生高呼：直道不用测，因为……


　　我立刻制止了他，面对全体学生：因为什么？


　　学生立刻明白了其中的缘由：8条跑道直道的长度都是一样的，造成跑道长度差的原因是两条弯道。


　　（五）打通。


　　师：你觉得奥运会跑道和刚才的四驱车跑道有关系吗？


　　生1：两个跑道可以合成一个圆。


　　生2：因为直道都一样，可以不看，这样奥运会跑道的差，其实就是两个圆的周长差，与四驱车跑道中的跑道差就一样了。


　　教师再次点拨：你们说过的需要测“直道、弯道直径或者半径、道宽”。学生恍然大悟：不需要测量“弯道的直径或半径”，只要测量出“道宽”就可以了，然后用“道宽×2×π”。


　　教师笑道：以后再求这样跑道的起跑线位置，你还会傻傻地测周长、测直径、测半径吗？


　　生：不会了，只要测量道宽就可以了！


　　师：是啊，多美妙！那原来你们为什么说要测那么多数据？


　　生：原来只知道用大圆周长减小圆周长。


　　师：看见没，要想简捷、迅速地解决问题，就要多角度思考，探寻更多的解决问题的路径和方法。


　　（六）教师出示奥运会标准跑道简介2：奥运会标准塑胶跑道，最内侧的跑道半径为36.5米，跑道宽度为1.22米。问：起跑点怎么确定？


　　生：1.22×2×π。（教师揭示：为了更加精确，这里的π计算时一般取值3.14259）


　　（七）出示奥运会200米比赛示意图，让学生确定起跑点。


　　学生很快一致推出：差源于一个弯道，相邻两道的起跑点依次向前“道宽×π”。


　　（八）800米比赛呢？


　　生：四个弯道的差，即“道宽×π×4”。


　　师：哈哈，800米及以上的中长跑，奥运会中的规则和你们算的不一样，它们的起跑点怎么安排，原因又是什么？课下你们上网了解。（拓宽学生视野，更多了解奥运会径赛常识）


　　活动三：校验学校操场的起跑线（课后）


　　课后，请学生一起去操场校对、检验施工队给学校操场跑道画的起跑线对不对。如果不对，写出书面告交给校长，校长会找施工队重新施工、改正。（安排这个班的数学宋老师跟进）


　　临下课时，我突然又问了学生一句：对了，你们到操场上只要测量什么就可以了？


　　学生一起高声回应：道宽！


　　（单位系江苏省南京赫贤学校）


　　《中国教师》2021年07月07日第5版


　　：张宏伟


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