生活中的数学问题

　　生活中的数学问题推荐文章1：算法之美：如何用数学方式解决生活中的具体问题？

　　按：在道格拉斯·亚当斯的《银河系漫游指南》中，一个名叫深思（Deep Thought）的巨型超级计算机经过750万年的计算，得出“生命、宇宙以及任何事情的终极答案”是42。为什么是42？很多人都曾经尝试着对此作出解答。事实上，古希腊哲学家毕达哥拉斯就认为万物的本源是数。他认为数字先于事物存在，一切事物的性质都可以被归结为数的规定性，例如，比例关系、有限与无限的关系，此外，社会生活中也时常出现数字的隐喻类比。而当数字化如此彻底地席卷我们的生活，这种关系似乎变得更为富有深意。

　　在《算法之美》中，美国畅销书作家克里斯汀和认知科学家格里菲思告诉我们，不只是宇宙的终极答案，数学也可以解决人类生活中面对的具体问题。租房、收拾衣柜、选择餐厅、时间管理……无不能用算法解决。最优停止法则、时间调度法则、贝叶斯法则等等，这些法则看似艰深，其实连找停车位都能用得上！这本书告诉我们如何更有效地利用直觉、什么时候应该把选择权交给命运、无所适从的时候应该如何做出选择，以及如何有效地与他人保持联系。

　　经出版社授权，界面文化（ID：BooksAndFun）从中选择了部分章节，以飨读者。

37%：另一个神奇的数字

　　文 | 布莱恩·克里斯汀 汤姆·格里菲思

　　所有的基督徒都会在结婚请柬的最前面郑重宣布，他们走进婚姻的殿堂是遵从上帝的特别安排。但是，我要站在哲学的角度，详细地探讨这个问题……

　　——约翰尼斯·开普勒

　　如果你觉得马丁先生是最优秀的人选，如果你觉得与他相处最为融洽，那么你还犹豫什么呢？

　　——简·奥斯汀，《爱玛》

　　对于在中学时代就建立了恋爱关系的大一新生而言，感恩节就是一个严峻的考验：因为回家度过短短4天的假期之后，很多恋人就劳燕分飞了。大学辅导员把这个普遍现象称作“放弃火鸡”。

　　大一新生布莱恩就面临着这个问题。他中学时的女友在另外一所大学，天各一方的两个人不仅需要解决空间距离造成的麻烦，还需要认真思考一个问题：他们两人之间的感情到底有多深？他们从来没有考虑过这个具有哲学深度的问题。由于没有类似的感情可以参考，他们无从回答这个问题。于是，焦虑不安的布莱恩找到辅导员，向她寻求帮助。辅导员知道这是新生经常遭遇的一个典型难题，所以她用一种极其冷淡的语气给出了自己的建议：“先收集一些数据吧。”

　　显而易见，在连续性单配偶的生活方式中，人们不可避免地会遇到一个非常重要的问题：接触多少人之后，才可以确定自己的理想伴侣？如果在收集数据的过程中与自己的“真命天子”失之交臂，那该怎么办？这似乎成了感情问题上无解的“第22条军规”。

　　我们知道，这个令大一新生忧心忡忡、牢骚满腹的“第22条军规”其实就是数学界的“最优停止问题”，它的答案其实很简单，就是37%。

　　当然，前提条件是你愿意在爱情问题上做出各种假设。

　　在所有最优停止问题中，最大的难点不在于选择哪一种可选方案，而是确定自己需要考虑多少种可选方案。这些问题往往会引发不同的后果，不仅陷入爱河的人和需要租房的人必须慎重考虑，司机、房主、入室行窃者等也常常面临同样的抉择。

　　“37%法则”源于所谓的“秘书问题”——最优停止问题中最著名的一类难题。秘书问题的情境与我们前面考虑过的租房难题十分相似。假设一堆人申请一个秘书岗位，而你是面试官，你的目标是从这堆申请人中遴选出最佳人选。你不知道如何给每一名申请人评分，但是可以轻松地判断哪一名申请人更加优秀。（用数学语言来表述，就是说你只能看到序数，即申请人相互比较的排名，但是无法看到基数，即在一般性评分标准下的得分。）你按照随机顺序，每次面试一名申请人。你随时可以决定将这份工作交给其中一人，而对方只能接受，于是面试工作就此结束。但是，一旦你否决其中一名申请人，就不能改变主意再回头选择他。

　　在选择秘书时，遴选程序停止过早或者过晚都会导致不理想的结果。停止过早，最优秀的申请人还没有得到亮相的机会；停止过晚，就说明你在为一位根本不存在的更优秀的申请人保留这份工作。要取得最理想的结果，显然需要在两者之间找到最合适的平衡点，在甄选时既不可迟迟不决，又不可草草收手。

　　如果找到最优秀申请人是你追求的唯一目标，那么在整个面试过程中，只要不是已有申请人当中的最优秀人选，你都不会接受。但是，仅仅达到“目前最佳”这个条件，还不足以说服面试官。比如说，第一名申请人毫无疑问就符合这个条件。一般而言，我们有理由相信，随着面试程序不断进行下去，出现“目前最佳”申请人的概率将不断下降。例如，第二名申请人是截至目前最优秀申请人的可能性是50%，第五名的可能性只有1/5，第六名的可能性只有1/6，以此类推。因此，随着面试工作的深入，目前为止最优秀申请人一旦出现，必然会令人眼前一亮（别忘了，根据定义，这名申请人比之前所有申请人都更加优秀），不过，这种可能性在不断降低。

　　所以说，看到第一个目前最优秀申请人就欣然接受（也就是说，面试第一名申请人之后就结束面试程序），显然是过于草率了。在一共有100名申请人时，也不能因为第二名申请人比第一名申请人更优秀就迫不及待地选择他，因为这种做法同样有些操之过急。那么，我们到底该怎么办？

　　凭直觉，我们可以找到几种应对的办法。例如，当第三次（或者第四次）出现胜过前面所有的申请人时，就把工作机会交给他。或者，在连续多个申请人都不理想的情况下，一旦出现一名目前为止最优秀的人选，就毫不犹豫地接受他。

　　但是，事实证明，所有这些相对来说似乎有道理的策略都算不上是最明智的做法。事实上，效果最佳的做法是接受所谓的“摸清情况再行动准则”（look-then-leaprule）：事先设定一个“观察”期，在这段时间里，无论人选多么优秀，都不要接受他（也就是说，你的任务就是考察目标，收集数据）。“观察”期结束之后，就进入了“行动”期。此时，一旦出现令之前最优秀申请人相形见绌的人选，就立即出手，再也不要犹豫了。

　　考虑申请人数极少时的秘书问题，“摸清情况再行动准则”就会自动显露出来。如果只有一名申请人，这个问题就非常简单——接受她的申请！如果有两名申请人，无论你如何选择，你成功选到优秀人选的概率都是50%。你可以接受第一名申请人（此时，她是半程最优秀申请人），或者拒绝她，而拒绝第一名申请人就意味着接受第二名申请人（她也是半程最优秀申请人）。

　　如果有第三名申请人，情况就一下子变得有意思了。如果随机选择一名申请人，得到理想结果的概率是1/3，也就是33%。有两名申请人时，我们没有办法取得比碰运气更好的结果。那么，在有三名申请人时，会怎么样？事实证明，我们可以取得更理想的结果，而其中的关键就在第二场面试。在面试第一名申请人时，我们没有任何信息——她肯定是目前最优秀的申请人。在面试第三名申请人时，我们没有任何能动性——我们只能将工作机会交给这名申请人，因为我们已经拒绝了其他人的申请。但是，在面试第二名申请人时，我们既掌握了一些信息，又有一定的能动性——我们知道她与第一名申请人相比孰优孰劣，同时我们既可以接受她，也可以拒绝她。如果她比第一名申请人优秀，我们接受她，反之就拒绝她，那么会产生什么样的结果？事实上，在有三名申请人时，这是最理想的方案。令人吃惊的是，在有三名申请人时采用这个方法，与有两名申请人时选择半程最优秀人选的方法相比，效果不相上下。

　　在有4名申请人时，穷举所有可能的情况之后就会发现，我们仍然应该在面试第二名申请人时采取行动；如果一共有5名申请人，我们应该等到面试第三名申请人时才采取行动。

　　随着申请人数不断增加，观察与行动之间的分界线正好处在全部申请人37%的位置，从而得出了37%法则：在考察前37%的申请人时，不要接受任何人的申请；然后，只要任何一名申请人比前面所有人选都优秀，就要毫不犹豫地选择他。

　　事实证明，利用这种最优方案，我们选中最优秀申请人的概率为37%。方案本身与出现理想结果的概率正好相等，这是这类问题表现出来的令人奇怪的数学对称性。上表列出了申请人数不同时的秘书问题最优解决方案。从中可以看出，随着申请人数不断增加，取得理想结果的概率（以及从观察期切换到行动期的时间点）在37%左右。

　　采用最理想的方案也会有63%的失败率，这是一个令人警醒的事实。在面对秘书问题时，即使我们采取了最理想的行动方案，在大多数情况下也会遭遇失败，也就是说，大多数情况下我们都无法选中所有人选当中最优秀的那名申请人。对于把爱情视为寻觅“真命天子”的人来说，这确实是一个坏消息。不过，也不完全都是坏消息。直觉告诉我们，随着申请人数的不断增加，选中最优秀申请人的可能性将稳步下降。例如，如果采用随机选择的方式，在申请人总数为100时，我们得到理想结果的可能性是1%，在总人数为100万时，可能性就会降到0.0001%。但是，令人意想不到的是，秘书问题的计算结果不会发生变化。如果采用最优停止理论，在100人当中选中最优秀申请人的可能性是37%。而总人数是100万时，无论你相信与否，你得到理想结果的可能性仍然是37%。因此，申请人总数越多，最优算法理论就越有价值。的确，在大多数情况下，大海捞针都会无功而返，但是，无论“海洋”多么辽阔，最优停止理论都是最理想的工具。

　　在秘书问题首次被提出后的几十年时间里，人们研究了各种各样的情境，并结合不同的条件提出了若干最优停止策略。例如，针对（求爱）可能遭到拒绝的问题，他们提出了一个简单明了的数学答案：尽早向多名对象伸出橄榄枝。假如遭到拒绝的可能性是50%，那么得出37%法则的那个数学分析过程就会告诉你，遴选过程完成1/4后就应该随时准备求婚了。如果遭到拒绝，那么在发现下一个最佳人选时要再次求婚，直到求婚成功为止。运用这个策略，获得成功（即向所有人选中的最佳人选求婚并被接纳）的总概率仍然可以达到25%。根据自己的标准寻觅爱情本身就有难度，再加上遭到拒绝这个不利条件，25%的成功概率可以算是一个还不错的结果了。

　　此外，人们还经常修改秘书问题的其他前提条件，使之与现实生活中寻觅爱情（或挑选秘书）等难题更为相似，结果形成了更多的秘书问题变种。不过，最优停止问题给我们的启发不仅限于约会与招聘这两个方面。事实上，在租房子、找停车位、见好就收的时机选择等问题中，我们同样需要面对一个又一个的可选方案，做出最有利的选择。从一定程度上说，这些问题已经得到了解决。

　　（本文选自《算法之美》第一章《最优停止理论：如何准确选择停止观望的时机？ 》，有删节。）

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　　生活中的数学问题推荐文章2：看似艰深的数学问题与生活息息相关

　　近日举行的上海市科技奖励大会上，一个摘得自然科学一等奖的项目，在许多人眼中属于“每个字都认识，但是不知道啥意思”——数学物理反问题的理论分析与数值算法。

　　这个项目因何获奖？又与我们的生活有何关联？记者就此采访项目负责人、复旦大学数学科学学院教授程晋，他也是上海市现代应用数学重点实验室主任。

　　研究特殊“关系”数学模型

　　该项目的创新点看起来有点像“天书”：系统研究了椭圆方程反问题的唯一性及稳定性。证明多边形声软障碍反演的唯一性、两维椭圆方程双系数反演的唯一性、证明拉普拉斯方程柯西问题的对数稳定性。率先提出并开展时间分数阶扩散方程的反问题研究。得到分数阶及扩散系数反演的唯一性、证明高维有理数分数阶的Carleman估计。构造了反问题新型数值算法并给出误差分析。提出基于条件稳定性的正则化参数选取准则、构造多罚项的正则化方法以及用水平集方法反演介质不连续界面。

　　“简而言之，我们研究的对象主要是‘关系’。”程晋说。数学自诞生那天起，就因现实生活需求而发展。这个世界上信息很多，有的看得见，有的是隐藏其后的。他所领衔的项目，聚焦包含一些特殊“关系”的数学模型，从看得见的信息中获取看不见的信息。

　　程晋以阿基米德举例。古代有位国王，叫金匠造一顶纯金的皇冠，因怀疑里面掺有银子，便请阿基米德鉴定。当阿基米德进入浴盆洗澡时,水漫溢到盆外,于是悟得不同材质的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。此后，他将这一流体静力学的基本原理，即物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量，总结在他的名著《论浮体》中，后来以“阿基米德原理”著称于世。

　　“这一研究过程中，寻找未知信息的唯一性和关于测量误差的稳定性是关键。”程晋说。此次获奖的项目，正攀上了这两座“大山”。据了解，相关理论已经在此次新冠病毒疫情的发展预估推演中建功。

　　用数学解决其他学科难点

　　信息反演的数学问题，看似艰深，其实与我们的生活息息相关。例如，在计算机层析成像技术（CT技术）、核磁共振数据计算分析、生命科学领域的离子通道识别、蛋白质结构测定、地球内部结构的探测技术、气候气象科学应用，以及装备制造业相关领域中，都可见其身影。

　　在工业界，无损探伤、材料定制、生产过程控制等领域中，此次获奖项目的理论研究已发挥作用。

　　“我们曾与日本一家钢铁厂合作，用数学方式建立设备维修的评估数据体系。”程教授介绍。当时钢铁厂设备都在高温状态下运行，经过一定时间，需在其产生“疲劳”前进行停机检修维护。如何在设备正常运转情况下，通过对外部观测数据的分析，获知其是否需要检修？这个技术的精准性对企业而言十分关键。如果检修早了，成本上升影响生产；如果检修晚了，未能及时发现危险信号，很可能导致事故发生。

　　当时企业请来程晋团队的同时，还请了计算物理等不同专业的三个小组共同攻关这一难题。最终，通过与企业工程师充分沟通，程晋团队成为唯一达成目标的研究小组。在这一领域深耕几十年的他，身兼上海工业与应用数学学会理事长，用数学来解决其他学科的难点问题也是他努力的方向，“如今多方关注的人工智能研究，同样可以将对数学物理反问题的理论分析与数值算法的实践嵌入其中。”

　　“我常开玩笑说，我们做的数学，主要是搞‘关系’的。可是研究数学的人，可能不太会‘搞关系’。”程晋说，随着全球经济与计算机技术的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，数学将成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，未来大有可为。（记者 彭德倩）

　　原复旦大学“数学物理反问题的理论分析与数值算法”获自然科学一等奖

　　看似艰深的数学问题与生活息息相关

　　生活中的数学问题推荐文章3：生活中的数学方程问题

　　

　　现代数学教育开展以来，强调数学回归生活、接近生活，用数学知识却解决生活中的问题。同时要让学生明白数学于实践、生产和生活中充,如人们生活“衣、食、住、行”和数学知识是密不可分。

　　方程是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。因此，在方程的学习中，应关注建模和应用过程，以培养学生良好的方程观念等，增强学生的数学应用意识，这些应是方程教学的最重要的目标。

　　正因为方程这种特性，让我们生活中充满“方程问题”，我一起来看看：

　　一、衣

　　

　　点评：本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量（不等量）关系．

　　二、食

　　

　　解题反思：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．

　　

　　三、住

　　

　　解题反思：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．

　　四、行

　　

　　解题反思：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分别表示出今年与明年电动车数量是解题关键．

　　随着现代社会不断发展，数学知识生活化和用数学知识解决生活中问题，这种联系越来越紧密，这就要求我们更加有效的运用数学知识、思想和方法

　　生活中的数学问题推荐文章4：二年级奥数：趣味数学二，生活中的有趣数学

　　在我们的日常生活中，常常要乘车或坐船。有关乘车、坐船的数学题目很多，在做这些题的时候，并不是简单的列个式子就能解决问题的，还要考虑我们的生活实际情况，认真审题，全面考虑各种情况。下面我们就来看下生活中有趣的一些数学问题，希望通过这些问题，给大家打开思路，在平时的学习中养成良好的思维习惯，考虑问题能够更全面。

　　解答日常生活中的问题的一些有趣问题，一定要从生活实际出发，充分运用学过的数学知识，使求出的答案符合实际情况。有时可以先假设一个结论，然后对照所给出的条件，找到符合条件的结果。

　　生活中的数学问题推荐文章5：解决生活中的数学问题

　　《平均数的认识》是北师大版小学数学四年级下册第六单元《数据的表示和分析》的最后一部分内容，是在学生已经认识简单统计图表的基础上进行学习的。值得注意的是，教材由原来的2组数据改为现在的1组数据，更注重学生从数据中获得信息，进行数据分析的过程，体现了数据分析作为统计核心的理念。

　　本节课教学采用“观试论问”教学模式，即观察分析——尝试解决——论证交流——质疑反思的学习策略。

　　首先，创设情境，观察分析。以记数游戏为情境，充分调动学生的积极性，让学生观察数据中蕴含的信息，充分说出自己的想法。通过生生、师生交流，体会学习平均数的必要性。在本环节，借助动态、紧张、趣味横生的游戏，学生的学习兴趣被充分调动，在亲身经历中思考哪个数字可以代表自己记数字的水平。有的学生认为是第一次的数字，因为第一次自己对游戏不熟悉，记住数字的个数是个最小值，所以一定可以代表自己记数字的水平；有的学生认为是记住最多的数字，因为这是自己的最高水平，可以代表自己记数字的水平；也有学生觉得代表自己记数字水平的数应该是介于两次记数游戏结果中间的数。在充分交流中，学生面对淘气记数字游戏更多的数据情境时，水到渠成地思考“平均每次记数数字7”可以代表淘气记数字水平。

　　其次，尝试解决，探究新知。通过摆一摆、画一画、算一算等多种方式尝试解决核心问题：7是怎么来的？学生进行丰富多样的自主探究、小组合作活动，运用不同的方法动手摆一摆、画一画，发现无论怎样移与摆都是为了使原来几个不同数据变得均匀，变得同样多。运用计算的方法，事先求出淘气5次记住的总个数再平均分，求出平均每次记住7个数字，也是将这组数据变得均匀，变得同样多。

　　再次，论证交流，深入理解。通过生生互动，引导学生理解“移多补少”“求和均分”的求平均数的方法。通过对比两组数据的平均数，探讨平均数是个什么样的数，引导学生理解平均数是一组数据平均水平的代表，从而强化平均数的统计学意义。在这一环节教学中，我以新课程标准为引领，根据学生年龄特点，牢牢把握课程内容的核心知识点，无论是“变个魔术”的兴趣调动，还是利用触屏白板的“移多补少”操作，都充分激发了学生的学习兴趣，实现人机、生生的极强互动。

　　最后，生活应用，质疑反思。我还让学生感受平均数在生活中的广泛应用，引导学生在解释含有背景的平均数的意义时，进一步体会平均数的意义。在课堂生成中，学生对于生活中的平均数举例不太充分，举例中一定程度上以数据为核心，脱离真实的生活情境，对于生活和学习中的“平均身高”“平均年龄”“平均分”、唱歌等比赛时的最终得分计算方法等情境均不熟知，可见数学学习还存在“算”与“做题”的倾向。所以，根据课堂生成我相机进行了在生活中获取信息，悉心观察生活中的数学，解决生活中的问题的引导。

　　通过本节课的教学，我认为“学习的秘密”落实到课堂，就是在小学数学课堂中让学生在有趣的情境中亲身经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，关注生活中的数学，学习生活中的数学，掌握方法，形成思想，最终学以致用，解决生活中的数学问题。

　　（单位系广东省深圳市龙华区实验学校）

　　《中国教师》2019年12月04日第5版

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