等差数列求和公式

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　　等差数列的通项公式

　　按一定规律排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的一项，排在第一个位置的叫第一项，也叫首项；第二个叫第二项；第三个数叫第三项；…，最后一项又叫末项。

　　第一项（首项）用a1表示，第二项用a2表示，…，第n项用an表示。

　　如数列1，3，5，7，…，99。

　　a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7，…。对于一个数列，往往需要确定它的每个项或者计算某些项的和等等，这就要求我们首先研究数列的构造规律。

　　如果已知一个等差数列的首项a1，公差d，那么这个数列就确定了。如a1＝5，d＝4，那么这个数列就是5，9，13，17…。虽然这个数列的项不难逐一写出来，但是如果要求a100（第100项），非要把这个数列前99项都写出来，这就太麻烦了。能不能找出一个由首项a1，公差d，直接求出a100的公式呢？第二项比第一项5多4，第三项比第一项多4的2倍，第四项比第一项多4的3，…，第100 项比第一项多4的99倍，由此可得a100＝5＋（100－1）×4

　　一般地，一等差数列可由其首项a1和公差d表为：a1，a1＋d，a1＋2d，a1＋3d，…。其中an＝a1＋（n－1）d（n是项数）这是等差数列的通项公式，即第n项＝首项＋（项数n－1）×公差。

　　在等差数列的通项公式中，如果知道an，a1，d，怎样求项数n呢？不难推出以下公式：n＝（an－a1）÷d＋1，

　　即项数n＝（第n项－首项）÷公差＋1

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　　六年级计算总复习：等差数列。

　　同学们好，今天一起来看一道等差数列的题目。已知数串5、7、9、11、13、99，现在问第一问，这个数串当中的第十二个数是多少？

　　·先来看一下等差数列，来看一下它的公差是多少？5到7，它的公差是不是加2？7到9也是加2，9到11照样是加2，11到13，可以从这里看出来它的公差d就等于2。

　　·现在来看一下第一问，这个数串当中的第十二个数是多少？现在问第十二个数是不是就是在求an、an就等于a1加上n减1，d。现在求第十二个数，来一起写一下答案。

　　→第一问，a12就等于a1加上n减1，d。现在把这些数据都带入进去，a1是多少？a15再加n是，现在问的是12，也就是12减1再乘以公差，公差是2等于5加11乘以2等于27，那么它的第十二个数就是27。

　　→再来看第二问，第二问是39，是这个数串中的第几个数？第几个数？这个又求的是什么？求的是项数，也就是39。在这个等差数列当中，它是第几个项数？项数公式。同时同学们还记不记得n等于多少？n就等于an减a e括号除以d加一。

　　现在把39带入到这个公式里面，第二个n9等于an是多少？括号an也就是这个39，因为现在问的是39是第几个数，然后再减去a1，a1还是5，公差是2再加1，39减5，34，34再除以2等于17，17加一，也就是39是在这个等差数列当中的第十八个数。

　　·一起再来看一下第三问，其实第三问跟第二问是一样的，都是求的它的项数问题，跟第二问是一样的，同一个公式一共有几项？现在问这个数列一共有几项？现在在这个等差数列当中，告诉我们最后一项是几数字几？最后一项是不是99？也就是已知an也就是最后一个数列是99。

　　现在问一共有几项？也就是问99是这个数列当中的第几项？等于an减a e除以d加一，还是用这个项数公式代入进去，99减去5再除以2加一，99减5，94，94除以2加一，94除以2是多少？是47，再加上1，也就是这个数列一共有四十八个数。

　　最后一个数字99是它的第四十八项，这个数串一共有四十八项。

　　·再来看最后一问，最后一问是将数串中所有的数加起来和是多少？这个和现在问的是它的和涉及到了哪个公式？也就是等差数列的求和公式s。s n等于多少？s n也就是a一加a n括号再乘以它的项数除以二，这个求和公式大家一定要记住。

　　同样的把数字带入到公式里面一起来算一下。第四问：四 n等于二分之括号 a一加a n括号乘以，那就是等于二分之 a 一还是五加a n是九十九，一共有多少项？是不是第三问求出来的一共有四十八项，所以这乘以四十八，最后等于九十九加五，一百零四乘以四十八再除以二，这个和四十八月份这是二十四，也就是一百零四乘以二十四，最后是等于多少？大家可以来算一下。

　　这个最后是两千四百，两千四百九十六，这个数列的和等差数列的和就是两千四百九十六。同学们做这道题的时候一定要注意它的几个公式，等差数列的几个公式，这是一个通向公式，项数公式，还有它的求和公式，这三个公式一定要记牢，记牢这些公式，然后给它给出的这些数字直接带入进去进行计算就可以。

　　同学们把这道题再整理一下，自己再看一下。

　　等差数列求和公式推荐文章4：小学奥数：等差数列求和进阶题，合理分组，计算求和

　　等差数列：求和。

　　同学们好，我是刘小龙老师。今天来看一下较为复杂的差数列求和。计算：1+2+3一直加到2013+2014，然后又加2013，加2012后又加到1。

　　发现如果将这个数列分成三部分，中间的2014是一部分，后边是一段，只需要将后边一段往前挪一下就可以了，也就是2013加2012加2011，最后加到1。这样发现上下两个数，每两个数加起来都是2014，从1到2013一共是有2013个数，所以让上下两个数加起来，它们的和都是2014，一共是有2013个2014。

　　这样第一块还有第三块的和就已经求出来了，注意这里不需要除以2，再加上中间的2014就可以了。2013加1是2014，2014乘以2013，可以把2014乘以2013，然后再加2014。这里的2014可以看成2014乘以1，用乘法分配律将2014抠出来，抠出来以后一部分剩一个2013，第二部分剩一个1，所以加1，这样就会等于2014再乘以2014。

　　答案可以列个竖式做出来就可以了。这就是将这个式子分成了三块，然后将它们进行求和。

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　　等差数列求和公式推荐文章5：小学奥数：等差数列初步，求和公式的推导

　　同学们好，我是刘小龙老师。今天来看一下等差数列求和。计算1+10+19，一直加到217。发现每两个数中间的差都是9，所以它是一个等差数列，也就是217前面一个数需要用217减9，减9可以先减10再加1，也就是208。它再前面一个数就是先减10再加1，也就是198，199。

　　等差数列求和可以一个正着写，一个倒着写，也就是将217+208再加199，然后一直加后写到1。为什么一个正着写，一个倒着写？观察一下上下两个式子，所有的和都是一样多的，只需要看一看一共有多少个218就可以了。

　　需要解决的第一个问题就是要看一看一共有多少个小方块，就是一共有多少项。上一节课学了求项数的方法，是用217最后一项减第一项，然后再除以9，看一看一共加了多少个9。要注意第一项1是没有算在内的，所以得再加一个1，这样它的项数就能求出来。

　　217减掉1是216，216除以9再加1，216除以9先上2，298，36除以9是49，36再加1，也就是一共有25项，25个数，25个框框，每一个框框都是218，每一个框框都是1+217，然后一共有25个框框，这样就能够求出它们的和。

　　要注意这样求是求了两次数列的和，所以得把它除以2，然后1+214=218，218乘以25除以2，可以先除以2，218除以2就是109，1除以2商0，18除以2商9，然后再乘以25，这个数算出来就可以了。

　　要注意一个正着写，一个倒着写，第一步先要求出项数，然后第二步才能够算出答案。刚才算了一下这个是2725，所以就得到了等差数列求和的公式。也就是如果将第一项看成是a1，最后一项看成是an，一共有n个数，也就是n项。它的求和公式就是s等于第一项加最后一项，然后乘以它的个数，注意得除以2，因为是算了它两次的和，这就是通项公式。

　　有的同学说能不能用第二项加上倒数第二项？当然也是可以的，因为只要是正着数跟倒着数的和都是一样的，也就说第二项加上倒数第二项，它们的和都是一样的，这就是它的求和方法。

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